【技艺】

    隙积术与会圆术【原文】算术求积尺①之法，如刍萌②、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑③、圆锥、阳马④之类，物形备矣，独未有隙积一术。古法：凡算方积之物，有立方⑤，谓六幂皆方者。其法再自乘则得之。有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法并上下广折半以为之广，以直高乘之⑥，又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾。勾股求弦，以为斜高。有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂⑦之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用刍童法为上位、下位，别列⑧下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令积罂：最上行纵广各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列⑨下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术⑩。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之弧，则再割之弧也。假令有圆田，径十步，欲割二步。以半径为弦，五步自乘得二十五；又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九；用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之为所割直径。以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。今圆径十，已足盈数，无可除。只用四尺加入直径，为所割之孤，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。【注释】①积尺：在本文中泛指体积，也就是立方尺的意思。积：数学名词，两个或多个数相乘的结果称为这些数的积。在古代算学书籍里常借用长度单位名称来兼表面积单位或者体积单位，因此，积尺在古代既可以表示平方尺，也可以表示立方尺。②刍萌：长方楔形状，其底面为长方形，两个侧面为梯形，也称为刍甍（hōnɡ）。③鳖臑：一种锥体，底面为直角三角形且有一棱与底面垂直。④阳马：四棱锥，有时指底面为长方形且有一棱与底面垂直的锥体。⑤立方：文中指正方体。⑥以直高乘之：用梯形面的垂直高相乘，文中指用上句中所得的数值（梯形的上下宽相加除以二）与高相乘。至此，实际上就得到了这个梯形的面积，也为下一步乘以长度得到物体的体积作了准备。⑦罂：古代一种腹大口小的陶制容器。⑧别列：文中指另外计算。⑨重列：另外列出。⑩会圆之术：会圆术，沈括所创的一种计算圆弓形弧长的近似方法，其近似公式为C＝a+h2r6，其中r为半径，h为矢高，a为弦长。沈括并未给出这一公式的推导，它很可能与《九章算术》中弧田术有着某种密切的关系。别：另，另外。古代无另字，用另的地方常写作别。各自乘：文中指将弦、股各自平方。再割亦如之：再次切割也如此类推。减去已割之弧，则再割之弧也：（用总的弧长）减去已割部分的弧长，就是再切割之田的弧长了。步：古代计量单位，一步为五尺。造微之术：比较精确的计算方法。志：